Representación grafica de los Números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Ejercicios y problemas de números enteros

1Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

               8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

               −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3Sacar factor común en las expresiones:

         1.- 3 · 2 + 3 · (−5) =

         2.- (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

         3.- 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

         4.- (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4Realizar las siguientes operaciones con números enteros

       

        1.- (3 − 8) + [5 − (−2)] =

        2.- 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

        3.- 9 : [6 : (− 2)] =

        4.- [(−2)⁵ − (−3)³]² =

        5.- (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =

        6.- [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5Realizar las siguientes operaciones con números enteros

         1.- (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

         2.- 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=

         3.- −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6Calcula, si existe:

         1.-

         2.-

         3.-

         4.-

         5.-

         6.-

7Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

          1.- (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ =

          2.-  (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =

          3.- (−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ =

          4.- 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ =

          5.- 2² : 2³ =

          6.- 2⁻² : 2³ =

          7.- 2² : 2⁻³ =

          8.- 2⁻² : 2⁻³ =

          9.- [(−2)^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =

          10.- [(−2)⁶ : (−2)³ ]³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

8Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

         1.-(−3)¹ · (−3)³ · (−3)⁴ =

         2.- (−27) · (−3) · (−3)² · (−3)⁰=

         3.- (−3)² · (−3)³ · (−3)⁻⁴ =

         4.- 3⁻² · 3⁻⁴ · 3⁴ =

         5.- 5² : 5³ =

         6.- 5⁻² : 5³ =

         7.- 5² : 5 ⁻³ =

         8.- 5⁻² : 5⁻³ =

         9.- (−3)¹ · [(−3)³]² · (−3)⁻⁴ =

        10.- [(−3)⁶ : (−3)³] ³ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ =

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m · a ⁿ = a^m+n

(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = −8

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

(−2)³ · (3)³ = (−6) ³ = −216

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

(−6)³ : 3 ³ = (−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.

Propiedades de las Operaciones con números enteros

 Propiedades de las Operaciones con números enteros

 

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

       a + b

       3 + (−5)

2. Asociativa:

           (a + b) + c = a + (b + c)

     (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

                    5 − 5 = 2 + (− 2)

                          0 = 0

3. Conmutativa:

            a + b = b + a

      2 + (− 5) = (− 5) + 2

               − 3 = − 3

4. Elemento neutro:

            a + 0 = a

       (−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

         a + (-a) = 0

        5 + (−5) = 0

            −(−5) = 5

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

              a − b

       10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

           a - b ≠ b - a

          5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

             a · b

        2 · (−5)

2. Asociativa:

        (a · b) · c = a · (b · c)

   (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

           6 · (−5) = 2 · (−15)

                  -30 = -30

3. Conmutativa:
           a · b = b · a
      2 · (−5) = (−5) · 2

             -10 = -10

4. Elemento neutro:

           a ·1 = a

      (−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

        a · (b + c) = a · b + a · c

    (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

             (−2)· 8 =- 6 - 10

                   -16 = -16

6. Sacar factor común:

            a · b + a · c = a · (b + c)

  (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

      (−2) : 6

2. No es Conmutativo:

          a : b ≠ b : a

     6 : (−2) ≠ (−2) : 6

¿Que son los Numeros Enteros?

¿Que son los Numeros Enteros?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Historia

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.


El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
  • El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
  • El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

En esta pagina podras ver un video mas dinamico para que puedas aprender en tema con mas facilidad.

http://www.youtube.com/watch?v=HJ4cGeiDZoI

Espero que te aya gustado el video, muchas gracias!

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ejermplos : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
                    12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).
     5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
     – 14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de estamanera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma y
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ejemplo 1:

        –3 – 10

a) cambiamos el signo de resta por el de suma:

       –3 + 10

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +):

      – 3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

Ejemplo 2:

      19 – – 16

a) cambiamos el signo de resta por el de suma:

      19 + –16

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +):

      19 + + 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

                 + • + = +
                 – • – = +
                 + • – = –
                 – • + = –

Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )
                 12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).